En algún momento de su vida, es posible que haya tenido que realizar una serie de pagos fijos durante un período de tiempo, como pagos de alquiler o automóvil, o que haya recibido una serie de pagos durante un período de tiempo, como cupones de bonos. Estas se llaman anualidades. Si comprende el valor del dinero en el tiempo, está listo para aprender sobre anualidades y cómo se calculan sus valores actuales y futuros.

¿Qué son anualidades?

Las anualidades son esencialmente una serie de pagos fijos que se le requieren o que se le pagan a usted, en una frecuencia especificada en el transcurso de un período de tiempo fijo. Las frecuencias de pago más comunes son anuales, semestrales (dos veces al año), trimestrales y mensuales. Hay dos tipos básicos de anualidades: anualidades ordinarias y anualidades debidas.

• Anualidad ordinaria: los pagos se requieren al final de cada período. Por ejemplo, los bonos simples generalmente pagan pagos de cupones al final de cada seis meses hasta la fecha de vencimiento del bono.
• Anualidad pagadera: se requieren pagos al comienzo de cada período. El alquiler es un ejemplo de renta vitalicia. Por lo general, se requiere que pague el alquiler cuando se mude por primera vez al principio del mes y luego el primero de cada mes a partir de entonces.

Dado que los cálculos del valor actual y futuro para las anualidades ordinarias - y las rentas vitalicias adeudadas son ligeramente diferentes - primero discutiremos el cálculo del valor presente y futuro para las anualidades ordinarias.

Cálculo del valor futuro de una anualidad ordinaria

Si sabe cuánto puede invertir por período durante un período de tiempo determinado, el valor futuro (FV) de una fórmula de anualidad ordinaria es útil para averiguar cuánto pagaría tener en el futuro invirtiendo a su tasa de interés dada. Si está haciendo pagos de un préstamo, el valor futuro es útil para determinar el costo total del préstamo.

Ahora repasemos el Ejemplo 1. Considere el siguiente cronograma de flujo de efectivo de anualidades:

Para calcular el valor futuro de la anualidad, debemos calcular el valor futuro de cada flujo de efectivo. Supongamos que está recibiendo $ 1, 000 cada año durante los próximos cinco años, e invirtió cada pago al 5%. El siguiente diagrama muestra cuánto tendría al final del período de cinco años:

Dado que tenemos que agregar el valor futuro de cada pago, es posible que haya notado que si tiene una anualidad ordinaria con muchos flujos de efectivo, tomaría mucho tiempo calcular todos los valores futuros y luego agregarlos juntos. Afortunadamente, las matemáticas proporcionan una fórmula que sirve como un atajo para encontrar el valor acumulado de todos los flujos de efectivo recibidos de una anualidad ordinaria:

donde C = flujo de efectivo por período i = tasa de interés n = número de pagos

Usando la fórmula anterior para el Ejemplo 1 anterior, este es el resultado:

= $ 1000 * [5.53] = $ 5525. 63

Tenga en cuenta que la diferencia de 1 centavo entre $ 5, 525. 64 y $ 5, 525. 63 se debe a un error de redondeo en el primer cálculo. Cada valor del primer cálculo debe redondearse al centavo más cercano: cuanto más tenga que redondear números en un cálculo, más probabilidades habrá de que ocurran errores de redondeo. Por lo tanto, la fórmula anterior no solo proporciona un acceso directo para encontrar el FV de una anualidad ordinaria, sino que también brinda un resultado más preciso.

Cálculo del valor actual de una anualidad ordinaria

Si desea determinar el valor actual de una serie de pagos futuros, debe utilizar la fórmula que calcula el valor actual (PV) de una anualidad ordinaria. Esta es la fórmula que usaría como parte de un cálculo de fijación de precios de bonos. El PV de una anualidad ordinaria calcula el valor presente de los pagos de cupones que recibirá en el futuro.

Para el Ejemplo 2, usaremos el mismo calendario de flujo de efectivo de anualidades que en el Ejemplo 1. Para obtener el valor descontado total, necesitamos tomar el valor presente de cada pago futuro y, como hicimos en el Ejemplo 1 , agregue los flujos de efectivo juntos.

Nuevamente, calcular y agregar todos estos valores tomará una cantidad considerable de tiempo, especialmente si esperamos muchos pagos futuros. Como tal, podemos usar un atajo matemático para PV de una anualidad ordinaria.

donde C = Flujo de efectivo por período i = tasa de interés n = número de pagos

La fórmula nos proporciona el PV en unos pocos y sencillos pasos. Aquí está el cálculo de la anualidad representada en el diagrama para el Ejemplo 2:

= $ 1000 * [4. 33] = $ 4329. 48

Cálculo del valor futuro de una anualidad vencida

Cuando reciba o pague flujos de efectivo por una anualidad adeudada, su cronograma de flujo de efectivo aparecería de la siguiente manera:

Desde cada pago en la serie se realiza un período antes, debemos descontar el período de la fórmula uno. Una ligera modificación a la FV de una fórmula de anualidad ordinaria representa los pagos que se producen al comienzo de cada período. En el Ejemplo 3, ilustraremos por qué es necesaria esta modificación cuando cada pago de $ 1 000 se realiza al comienzo del período y no al final (la tasa de interés sigue siendo del 5%):

Tenga en cuenta que cuando los pagos se realizan en el al comienzo del período, cada cantidad se mantiene más tiempo al final del período. Por ejemplo, si los $ 1, 000 se invirtieron el 1 de enero en lugar del 31 de diciembre de cada año, el último pago antes de valorar nuestra inversión al final de cinco años (el 31 de diciembre) se habría realizado un año antes (1 de enero) en lugar del mismo día en que se valora. El valor futuro de la fórmula de anualidad sería:

donde C = flujo de efectivo por período i = tasa de interés n = número de pagos

Por lo tanto,

= $ 1000 * 5. 53 * 1. 05 = $ 5801. 91

Cálculo del valor presente de una anualidad adeudada

Para el valor presente de una fórmula de anualidad vencida, debemos descontar la fórmula un período adelante ya que los pagos se mantienen por un período de tiempo más corto. Al calcular el valor presente, suponemos que el primer pago se realizó hoy.

Podríamos usar esta fórmula para calcular el valor presente de sus pagos de alquiler futuros como se especifica en un contrato de arrendamiento que firme con su arrendador. Digamos para el Ejemplo 4 que realiza su primer pago de alquiler a principios de mes y está evaluando el valor presente de su contrato de arrendamiento de cinco meses ese mismo día. Su cálculo del valor actual funcionaría de la siguiente manera:

Por supuesto, podemos usar un atajo de fórmula para calcular el valor actual de una renta vitalicia:

donde C = Flujo de efectivo por período i = tasa de interés > n = número de pagos Por lo tanto,

= $ 1000 * 4. 33 * 1. 05

= $ 4545. 95 Recuerde que el valor presente de una anualidad ordinaria arrojó un valor de $ 4, 329. 48. El valor presente de una anualidad ordinaria es menor que el de una anualidad adeudada porque cuanto más retrocedamos descontamos un pago futuro, más bajo su valor presente - cada pago o flujo de efectivo en una anualidad ordinaria ocurre un período más en el futuro.

The Bottom Line

Ahora puede ver cómo las anualidades afectan cómo calcula el valor presente y futuro de cualquier cantidad de dinero. Recuerde que las frecuencias de pago, o el número de pagos, y el momento en el que se realizan estos pagos (ya sea al comienzo o al final de cada período de pago) son todas las variables que debe contabilizar en sus cálculos.