Es bastante difícil llegar a un acuerdo sobre el precio exacto de cualquier activo negociable, incluso en la actualidad. Es por eso que los precios de las acciones cambian constantemente. En realidad, la compañía apenas cambia su valoración en el día a día, pero el precio de las acciones y su valoración cambian cada segundo. Esto muestra lo difícil que es llegar a un consenso sobre el precio actual para cualquier activo negociable, lo que lleva a oportunidades de arbitraje. Sin embargo, estas oportunidades de arbitraje son muy efímeras.

Todo se reduce a la valoración actual: ¿cuál es el precio actual correcto para una rentabilidad futura esperada?

En un mercado competitivo, para evitar oportunidades de arbitraje, los activos con estructuras de pago idénticas deben tener el mismo precio. La valoración de las opciones ha sido una tarea desafiante y se observan altas variaciones en los precios que conducen a oportunidades de arbitraje. Black-Scholes sigue siendo uno de los modelos más populares utilizados para las opciones de precios, pero tiene sus propias limitaciones. (Para obtener más información, consulte: Opciones de precios ). El modelo de precios de opciones binomiales es otro método popular utilizado para las opciones de precios. Este artículo analiza algunos ejemplos exhaustivos paso a paso y explica el concepto subyacente de riesgo neutral al aplicar este modelo. (Para la lectura relacionada, consulte: Desglose del modelo binomial para valorar una opción ).

Este artículo asume la familiaridad del usuario con las opciones y los conceptos y términos relacionados.

Suponga que existe una opción de compra en una acción en particular cuyo precio de mercado actual es de $ 100. La opción ATM tiene un precio de ejercicio de $ 100 con un plazo de vencimiento de un año. Hay dos operadores, Peter y Paul, que acuerdan que el precio de las acciones subirá a $ 110 o caerá a $ 90 en un año. Ambos acuerdan los niveles de precio esperados en un marco de tiempo dado de un año, pero no están de acuerdo con la probabilidad del movimiento hacia arriba (y hacia abajo). Peter cree que la probabilidad de que el precio de las acciones vaya a $ 110 es del 60%, mientras que Paul cree que es del 40%.

En base a lo anterior, ¿quién estaría dispuesto a pagar más precio por la opción de compra?

Posiblemente Peter, ya que espera una alta probabilidad del movimiento ascendente.

Veamos los cálculos para verificar y entender esto. Los dos activos de los que depende la valoración son la opción call y el stock subyacente. Existe un acuerdo entre los participantes de que el precio de las acciones subyacentes puede pasar de los actuales $ 100 a $ 110 o $ 90 en un año, y no hay otros movimientos de precios posibles.

En un mundo libre de arbitraje, si tenemos que crear una cartera que incluya estos dos activos (opción de compra y acciones subyacentes) de manera que independientemente del precio subyacente ($ 110 o $ 90), el rendimiento neto de la cartera siempre sigue siendo el mismo.Supongamos que compramos 'd' acciones de una opción de compra subyacente y corta para crear esta cartera.

Si el precio va a $ 110, nuestras acciones valdrán $ 110 * dy perderemos $ 10 en el pago de una llamada corta. El valor neto de nuestra cartera será (110d - 10).

Si el precio baja a $ 90, nuestras acciones valdrán $ 90 * d, y la opción caducará sin valor. El valor neto de nuestra cartera será (90d).

Si queremos que el valor de nuestra cartera siga siendo el mismo, independientemente de donde vaya el precio de las acciones subyacentes, entonces nuestro valor de cartera debería permanecer igual en ambos casos, i. mi. :

=> (110d - 10) = 90d

=> d = ½

i. mi. si compramos la mitad de una acción (suponiendo que las compras fraccionadas sean posibles), lograremos crear una cartera de manera que su valor permanezca igual en ambos estados posibles dentro del plazo de tiempo dado de un año. (punto 1)

Este valor de cartera, indicado por (90d) o (110d -10) = 45, es de un año en la línea. Para calcular su valor actual, se puede descontar por tasa de rendimiento libre de riesgo (suponiendo un 5%).

=> 90d * exp (-5% * 1 año) = 45 * 0. 9523 = 42. 85 => Valor actual de la cartera

Dado que, en la actualidad, la cartera comprende la mitad de la acción subyacente ( con precio de mercado $ 100) y 1 llamada corta, debe ser igual al valor presente calculado sobre i. mi.

=> 1/2 * 100 - 1 * precio de la llamada = 42. 85

=> Precio de la llamada = $ 7. 14 i. mi. el precio de la llamada a partir de hoy.

Dado que esto se basa en la suposición anterior de que el valor de la cartera sigue siendo el mismo independientemente del precio subyacente (punto 1 anterior), la probabilidad de movimiento ascendente o descendente no juega ningún papel aquí. La cartera permanece libre de riesgos, independientemente de los movimientos subyacentes del precio.

En ambos casos (se supone que se mueve hacia arriba a $ 110 y hacia abajo se mueve a $ 90), nuestra cartera es neutral al riesgo y gana la tasa de rendimiento libre de riesgo.

Por lo tanto, tanto los operadores, Peter y Paul, estarán dispuestos a pagar los mismos $ 7. 14 para esta opción de llamada, independientemente de sus propias percepciones diferentes de las probabilidades de movimientos ascendentes (60% y 40%). Sus probabilidades percibidas individualmente no juegan ningún papel en la valoración de opciones, como se ve en el ejemplo anterior.

Si suponemos que las probabilidades individuales son importantes, entonces habría oportunidades de arbitraje existentes. En el mundo real, tales oportunidades de arbitraje existen con diferenciales de precios menores y desaparecen en un corto plazo.

¿Pero dónde está la gran volatilidad en todos estos cálculos, que es un factor importante (y más sensible) que afecta el precio de las opciones?

La volatilidad ya está incluida por la naturaleza de la definición del problema. Recuerde que estamos asumiendo dos (y solo dos - y de ahí el nombre "binomial") estados de niveles de precios ($ 110 y $ 90). La volatilidad está implícita en esta suposición y, por lo tanto, se incluye automáticamente: 10% en ambos sentidos (en este ejemplo).

Ahora hagamos un control de la cordura para ver si nuestro enfoque es correcto y coherente con los precios de Black-Scholes comúnmente utilizados. (Consulte: El Modelo de Valoración de Opción Black-Scholes ).

Aquí están las capturas de pantalla de los resultados de la calculadora de opciones (cortesía de OIC), que se corresponde estrechamente con nuestro valor calculado.

Desafortunadamente, el mundo real no es tan simple como "solo dos estados". Hay varios niveles de precios que pueden alcanzarse hasta el vencimiento.

¿Es posible incluir todos estos niveles múltiples en nuestro modelo de fijación de precios binomial que está restringido a solo dos niveles? Sí, es muy posible, y para entenderlo, entremos en algunas matemáticas simples.

Se saltan algunos pasos de cálculo intermedios para mantenerlo resumido y enfocado en los resultados.

Para continuar, generalicemos este problema y nuestra solución:

'X' es el precio de mercado actual de las acciones y 'X * u' y 'X * d' son los precios futuros de los movimientos ascendentes y descendentes 't ' años después. El factor 'u' será mayor que 1 ya que indica un movimiento ascendente y 'd' se encontrará entre 0 y 1. Para el ejemplo anterior, u = 1. 1 yd = 0. 9.

Los pagos de opción de llamada son 'P _arriba ' y 'P _dn ' para movimientos ascendentes y descendentes, en el momento de la expiración.

Si construimos un portafolio de 's' acciones compradas hoy y corto una opción de compra, entonces después del tiempo 't':

Valor de cartera en caso de movimiento ascendente = s * X * u - P _up

Valor de la cartera en caso de movimiento a la baja = s * X * d - P _dn

Para una valoración similar en cualquier caso de movimiento de precio,

=> s * X * u - P < up _{= s * X * d - P} dn _{=> s = (P}

arriba _{- P} dn _{) / (X * (ud )) = el no. de acciones para comprar para cartera libre de riesgo} El valor futuro de la cartera al final de 't' años será

En caso de movimiento ascendente = s * X * u - P

arriba _{= (P} up _{- P} dn _{) / (X (ud)) * X * u - P} up _{El valor actual de arriba se puede obtener descontando con tasa de rentabilidad libre de riesgo:}

Esto debe coincidir con la tenencia de la cartera de acciones 's' al precio X, y el valor de la llamada corta 'c' i. mi. la celebración actual de (s * X - c) debe equivaler a la anterior. La solución para c finalmente da c como:

SI CORTAMOS LA PREMIUM DE LLAMADA DEBERÍAN SER ADICIONALES A LA CARTERA, NO A LA RESTRICCIÓN.

Otra forma de escribir la ecuación anterior es reordenándola de la siguiente manera:

Tomar q como

luego la ecuación anterior se vuelve

Reordenar la ecuación en términos de "q" ha ofrecido una nueva perspectiva.

"q" ahora se puede interpretar como la probabilidad del movimiento ascendente del subyacente (ya que "q" está asociado con P

arriba _{y "1-q" está asociado con P} dn _{). En general, la ecuación anterior representa el precio de la opción actual i. mi. el valor descontado de su pago al vencimiento.} ¿En qué se diferencia esta probabilidad "q" de la probabilidad de movimiento ascendente o descendente del subyacente?

El valor del precio de la acción en el momento t = q * X * u + (1-q) * X * d

Sustituyendo el valor de qy reordenando, el precio de la acción en el momento t viene a

i . mi. en este mundo supuesto de dos estados, el precio de las acciones simplemente aumenta por tasa de rendimiento libre de riesgo, i. mi. exactamente como un activo libre de riesgo y, por lo tanto, sigue siendo independiente de cualquier riesgo.Todos los inversores son indiferentes al riesgo bajo este modelo, y esto constituye el modelo de riesgo neutral.

La probabilidad "q" y "(1-q)" se conocen como probabilidades de riesgo neutral y el método de valoración se conoce como modelo de valoración neutral al riesgo.

El ejemplo anterior tiene un requisito importante: la estructura de pagos futuros se requiere con precisión (nivel $ 110 y $ 90). En la vida real, tal claridad sobre los niveles de precios basados ​​en pasos no es posible; más bien, el precio se mueve al azar y puede establecerse en múltiples niveles.

Ampliemos el ejemplo más. Supongamos que los niveles de precios de dos pasos son posibles. Conocemos los pagos finales del segundo paso y tenemos que valorar la opción hoy (es decir, en el paso inicial)

Trabajando hacia atrás, la valoración intermedia del primer paso (en t = 1) puede realizarse utilizando pagos finales en el paso dos (t = 2), y luego usando la valoración calculada del primer paso (t = 1), se puede alcanzar la valoración actual (t = 0) usando los cálculos anteriores.

Para obtener precios de opciones en el n. 2, se usan pagos a 4 y 5. Para obtener precios para no. 3, se utilizan pagos a 5 y 6. Finalmente, los pagos calculados en 2 y 3 se utilizan para obtener precios en el no. 1.

Tenga en cuenta que nuestro ejemplo asume el mismo factor para moverse hacia arriba (y hacia abajo) en ambos pasos: u (yd) se aplican de forma combinada.

Aquí hay un ejemplo de trabajo con cálculos:

Supongamos una opción de venta con precio de ejercicio $ 110 que actualmente cotiza a $ 100 y vence en un año. La tasa anual libre de riesgo es del 5%. Se espera que el precio aumente un 20% y disminuya un 15% cada seis meses.

Estructuramos el problema:

Aquí, u = 1. 2 yd = 0.85, X = 100, t = 0. 5

utilizando la fórmula derivada anterior de

, obtenemos q = 0. 35802832

valor de la opción de venta en el punto 2,

En P

upup _{condición, subyacente será = 100 * 1. 2 * 1. 2 = $ 144 que lleva a P} aumento _{= cero} En P

updn _{condición, subyacente será = 100 * 1. 2 * 0. 85 = $ 102 que lleva a P} updn _{= $ 8} En la condición P

dndn _{, subyacente será = 100 * 0. 85 * 0. 85 = $ 72. 25 que conduce a P} dndn _{= $ 37. 75} p

2 _{= 0. 975309912 * (0. 35802832 * 0 + (1-0. 35802832) * 8) = 5. 008970741} De forma similar, p

3 > = 0. 975309912 * (0. 35802832 * 8 + (1-0. 35802832) * 37. 75) = 26. 42958924 _{Y, por lo tanto, valor de la opción put, p} 1

= 0. 975309912 * (0. 35802832 * 5. 008970741+ (1-0. 35802832) * 26. 42958924) = _{$ 18. 29.} De forma similar, los modelos binomiales permiten romper la duración total de la opción para refinar múltiples pasos / niveles. Usando programas de computadora u hojas de cálculo uno puede retroceder un paso a la vez, para obtener el valor presente de la opción deseada. Concluyamos con un ejemplo más que involucra tres pasos para la valoración binomial de opciones:

Supongamos una opción de venta de tipo europeo, con un vencimiento de 9 meses con un precio de ejercicio de $ 12 y un precio subyacente actual de $ 10. Suponga una tasa libre de riesgo del 5% para todos los períodos. Supongamos que cada 3 meses, el precio subyacente puede moverse un 20% hacia arriba o hacia abajo, lo que nos da u = 1. 2, d = 0. 8, t = 0. Árbol binomial de 25 y 3 pasos.

Las cifras en rojo indican los precios subyacentes, mientras que las que están en azul indican el pago de la opción de venta.

Probabilidad de riesgo neutral q calcula a 0. 531446.

Utilizando el valor anterior de q y los valores de pago en t = 9 meses, los valores correspondientes en t = 6 meses se calculan como:

Además, utilizando estos los valores calculados en t = 6, los valores en t = 3 y luego en t = 0 son:

dando el valor actual de la opción de venta como $ 2. 18, que es bastante similar a la calculada usando el modelo Black-Scholes ($ 2. 3)

The Bottom Line

Aunque el uso de programas informáticos puede hacer muchos de estos cálculos intensivos fáciles, la predicción de precios futuros permanece una gran limitación de los modelos binomiales para el precio de las opciones. Cuanto más precisos sean los intervalos de tiempo, más difícil será predecir con precisión los pagos al final de cada período. Sin embargo, la flexibilidad para incorporar los cambios como se espera en diferentes períodos de tiempo es una ventaja añadida, lo que lo hace adecuado para fijar el precio de las opciones americanas, incluidas las valoraciones tempranas de los ejercicios. Los valores calculados mediante el modelo binomial coinciden estrechamente con los calculados a partir de otros modelos comúnmente utilizados, como el Black-Scholes, que indica la utilidad y la precisión de los modelos binomiales para el precio de las opciones. Los modelos de precios binomiales se pueden desarrollar de acuerdo con las preferencias de un comerciante y funcionan como una alternativa a Black-Scholes.