La volatilidad es la medida de riesgo más común, pero se presenta en varios sabores. En un artículo anterior, mostramos cómo calcular la volatilidad histórica simple. (Para leer este artículo, consulte Uso de la volatilidad para medir el riesgo futuro .) En este artículo, mejoraremos la volatilidad simple y discutiremos la media móvil ponderada exponencialmente (EWMA).

Histórico vs. Volatilidad implícita

Primero, pongamos esta métrica en perspectiva. Hay dos enfoques amplios: la volatilidad histórica e implícita (o implícita). El enfoque histórico supone que el pasado es prólogo; medimos la historia con la esperanza de que sea predictiva. La volatilidad implícita, por otro lado, ignora la historia; resuelve por la volatilidad implícita en los precios de mercado. Espera que el mercado conozca mejor y que el precio de mercado contenga, incluso implícitamente, una estimación consensuada de la volatilidad.

Si nos centramos únicamente en los tres enfoques históricos (a la izquierda arriba), tienen dos pasos en común:

1. Calcular la serie de declaraciones periódicas
2. Aplicar un esquema de ponderación >

Primero, calculamos el retorno periódico. Por lo general, se trata de una serie de devoluciones diarias donde cada devolución se expresa en términos compuestos continuos. Para cada día, tomamos el registro natural de la proporción de precios de las acciones (es decir, el precio hoy dividido por el precio de ayer, y así sucesivamente).

Esto produce una serie de rendimientos diarios, desde u

i _{a u} i-m _{, dependiendo de cuántos días (m = días) estamos midiendo.} Eso nos lleva al segundo paso: aquí es donde difieren los tres enfoques. En el artículo anterior, mostramos que bajo un par de simplificaciones aceptables, la varianza simple es el promedio de los rendimientos al cuadrado:

Observe que esto suma cada uno de los rendimientos periódicos, luego divide ese total por el número de días u observaciones (metro). Entonces, realmente es solo un promedio de los rendimientos periódicos al cuadrado. Dicho de otra manera, cada retorno cuadrado tiene el mismo peso. Entonces, si alfa (a) es un factor de ponderación (específicamente, a = 1 / m), entonces una varianza simple se ve más o menos así:

EWMA mejora en la varianza simple

La debilidad de este enfoque es que todo vuelve gana el mismo peso La devolución de ayer (muy reciente) no tiene más influencia en la varianza que el retorno del mes pasado. Este problema se resuelve mediante el uso de la media móvil ponderada exponencialmente (EWMA), en la que los rendimientos más recientes tienen un mayor peso en la varianza.
La media móvil ponderada exponencialmente (EWMA) introduce lambda, que se denomina parámetro de suavizado. Lambda debe ser menos de uno. Bajo esa condición, en lugar de pesos iguales, cada retorno cuadrado se pondera por un multiplicador de la siguiente manera:

Por ejemplo, RiskMetrics

TM ^{, _{una empresa de administración de riesgos financieros, tiende a usar una lambda de 0.94, o 94%. En este caso, la primera (más reciente) declaración periódica al cuadrado se pondera por (1-0. 94) (.94)}} 0 ^{= 6%. El siguiente retorno cuadrado es simplemente un lambda-múltiple del peso anterior; en este caso 6% multiplicado por 94% = 5. 64%. Y el peso del tercer día anterior es igual (1-0. 94) (0 94)} 2 ^{= 5. 30%.} Ese es el significado de "exponencial" en EWMA: cada peso es un multiplicador constante (es decir, lambda, que debe ser menos de uno) del peso del día anterior. Esto asegura una variación ponderada o sesgada hacia datos más recientes. (Para obtener más información, consulte la hoja de cálculo de Excel sobre la volatilidad de Google). La diferencia entre simplemente volatilidad y EWMA para Google se muestra a continuación.

La volatilidad simple pesa efectivamente todos y cada uno de los rendimientos periódicos en 0. 196% como se muestra en la columna O (tuvimos dos años de datos de precio diario de acciones. Eso es 509 devoluciones diarias y 1/509 = 0. 196%). Pero observe que la Columna P asigna un peso del 6%, luego del 5. 64%, luego del 5. 3% y así sucesivamente. Esa es la única diferencia entre la varianza simple y EWMA.

Recuerde: después de sumar toda la serie (en la Columna Q) tenemos la varianza, que es el cuadrado de la desviación estándar. Si queremos volatilidad, debemos recordar tomar la raíz cuadrada de esa varianza.

¿Cuál es la diferencia en la volatilidad diaria entre la varianza y EWMA en el caso de Google? Es significativo: la varianza simple nos dio una volatilidad diaria de 2. 4% pero el EWMA dio una volatilidad diaria de solo 1. 4% (consulte la hoja de cálculo para obtener más detalles). Aparentemente, la volatilidad de Google se estableció más recientemente; por lo tanto, una varianza simple podría ser artificialmente alta.

La varianza de hoy es una función de la varianza del día anterior

Notará que necesitamos calcular una serie larga de pesos exponencialmente decrecientes. No haremos aquí las matemáticas, pero una de las mejores características de EWMA es que la serie completa se reduce convenientemente a una fórmula recursiva:

Recursivo significa que las referencias de varianza de hoy (es decir, una función de la varianza del día anterior) . ¡También puede encontrar esta fórmula en la hoja de cálculo y produce exactamente el mismo resultado que el cálculo a mano alzada! Dice: la varianza de hoy (bajo EWMA) es igual a la varianza de ayer (ponderada por lambda) más el retorno cuadrado de ayer (ponderado por uno menos lambda). Observe cómo solo estamos agregando dos términos: la varianza ponderada de ayer y el retorno cuadrado ponderado de ayer.

Aun así, lambda es nuestro parámetro de suavizado. Una lambda más alta (por ejemplo, como el 94% de RiskMetric) indica decaimiento más lento en la serie - en términos relativos, vamos a tener más puntos de datos en la serie y van a "caerse" más lentamente. Por otro lado, si reducimos la lambda, indicamos una disminución mayor: los pesos se caen más rápidamente y, como resultado directo de la disminución rápida, se utilizan menos puntos de datos. (En la hoja de cálculo, lambda es una entrada, por lo que puede experimentar con su sensibilidad).

Resumen

La volatilidad es la desviación estándar instantánea de una acción y la métrica de riesgo más común.También es la raíz cuadrada de la varianza. Podemos medir la varianza histórica o implícitamente (volatilidad implícita). Al medir históricamente, el método más fácil es la varianza simple. Pero la debilidad con varianza simple es que todos los retornos tienen el mismo peso. Por lo tanto, nos enfrentamos a un compromiso clásico: siempre queremos más datos, pero cuantos más datos tengamos, más nuestro cálculo se diluye con datos distantes (menos relevantes). La media móvil ponderada exponencialmente (EWMA) mejora la varianza simple asignando ponderaciones a los rendimientos periódicos. Al hacer esto, ambos podemos usar un tamaño de muestra grande pero también otorgar mayor peso a los retornos más recientes.