Los conjuntos de datos de distribución normal (curva de campana)

(como altura de 100 humanos, marcas obtenidas por 45 alumnos en una clase, etc.) tienden a tener muchos valores en el mismo punto de datos o dentro del mismo rango Esta distribución de puntos de datos se llama distribución de curva normal o de campana. Por ejemplo, en un grupo de 100 personas, 10 pueden estar por debajo de 5 pies de alto, 65 pueden estar entre 5 y 5. 5 pies y 25 pueden estar por encima de 5. 5 pies. Esta distribución en función del rango se puede trazar de la siguiente manera:

Del mismo modo, los puntos de datos trazados en gráficos para cualquier conjunto de datos dado pueden parecerse a diferentes tipos de distribuciones. Tres de las más comunes son alineadas a la izquierda, alineadas a la derecha y distribuciones desordenadas:

Observe la línea de tendencia roja en cada uno de estos gráficos. Esto indica aproximadamente la tendencia de distribución de datos. El primero, "Distribución alineada a la IZQUIERDA", indica que la mayoría de los puntos de datos se encuentra en el rango inferior. En el segundo gráfico "Distribución alineada correcta", la mayoría de los puntos de datos caen en el extremo superior del rango, mientras que el último, "Distribución desordenada", representa un conjunto de datos mixtos sin ninguna tendencia clara.

Hay muchos casos en que la distribución de puntos de datos tiende a estar alrededor de un valor central, y ese gráfico muestra una distribución normal perfecta, igualmente equilibrada en ambos lados con el mayor número de puntos de datos concentrado en el centro

Aquí hay un conjunto perfecto de datos distribuidos normalmente.

El valor central aquí es 50, que tiene la mayor cantidad de puntos de datos, y la distribución se atenúa uniformemente hacia los valores extremos de 0 y 100, que tienen el menor número de puntos de datos. La distribución normal es simétrica alrededor del valor central con la mitad de los valores en cada lado.

Muchos ejemplos de la vida real se ajustan a la distribución de la curva de campana:

• Lanza una moneda justa muchas veces (digamos 100 veces o más) y obtendrás una distribución normal balanceada de cabezas y colas.
• Tira un par de dados justos muchas veces (digamos 100 veces o más) y el resultado será una distribución equilibrada y normal centrada alrededor del número 7 y disminuyendo uniformemente hacia valores extremos de 2 y 12.
• la altura de individuos en un grupo de tamaño considerable y las marcas obtenidas por personas en una clase siguen patrones normales de distribución.
• En finanzas, se supone que los cambios en los valores de registrode las tasas de Forex, los índices de precios y los precios de las acciones se distribuyen normalmente.

La relación con las finanzas y las inversiones

Toda inversión tiene dos aspectos: riesgo y rendimiento. Los inversores buscan el menor riesgo posible para obtener el mayor rendimiento posible. La distribución normal cuantifica estos dos aspectos por la media de los retornos y la desviación estándar del riesgo.(Para más información, ver: Análisis de media de varianza .)

Media o Valor esperado

El cambio promedio de un precio de una acción en particular podría ser 1. 5% sobre una base diaria lo que significa que, en promedio, sube un 1,5%. Se puede llegar a este valor medio o retorno de significado de valor esperado calculando el promedio en un conjunto de datos lo suficientemente grande que contiene los cambios de precios diarios históricos de ese stock. Cuanto mayor sea la media, mejor.

Desviación estándar

La desviación estándar indica la cantidad por la cual los valores se desvían en promedio de la media. Cuanto mayor es la desviación estándar, más riesgosa es la inversión, ya que conduce a una mayor incertidumbre.

Aquí hay una representación gráfica de lo mismo:

Por lo tanto, la representación gráfica de la distribución normal a través de su media y desviación estándar, permite la representación de los rendimientos y el riesgo dentro de un rango claramente definido.

Ayuda a saber (y estar seguro con certeza) que si algún conjunto de datos sigue el patrón de distribución normal, su media nos permitirá saber qué devuelve esperar, y su desviación estándar nos permitirá saber que alrededor del 68% de los valores estarán dentro de 1 desviación estándar, 95% dentro de 2 desviaciones estándar y 99% de los valores caerán dentro de 3 desviaciones estándar. Un conjunto de datos que tiene una media de 1. 5 y una desviación estándar de 1 es mucho más riesgoso que otro conjunto de datos con una media de 1. 5 y una desviación estándar de 0. 1.

Conocer estos valores para cada activo seleccionado (es decir, acciones, bonos y fondos) hará que un inversor sea consciente de los retornos y riesgos esperados.

Es fácil aplicar este concepto y representar el riesgo y el rendimiento de una sola acción, bono o fondo, pero ¿se puede extender a una cartera de activos múltiples?

Las personas comienzan a comerciar comprando una sola acción o bono, o invirtiendo en un fondo mutuo. Poco a poco, tienden a aumentar sus tenencias y comprar múltiples acciones, fondos u otros activos, creando así una cartera. En este escenario incremental, los individuos construyen sus portafolios sin una estrategia o mucha previsión. Los administradores de fondos profesionales, los comerciantes y los creadores de mercado siguen un método sistemático para construir su cartera utilizando un enfoque matemático llamado teoría de cartera moderna (MPT) que se basa en el concepto de "distribución normal". "

Teoría moderna de la cartera

La teoría moderna de la cartera ofrece un enfoque matemático sistemático que tiene como objetivo maximizar el rendimiento esperado de una cartera para una cantidad determinada de riesgo de la cartera seleccionando las proporciones de diversos activos. Alternativamente, también ofrece minimizar el riesgo para un determinado nivel de rendimiento esperado.

Para lograr este objetivo, los activos que se incluirán en la cartera no deberían seleccionarse únicamente en función de su propio mérito individual, sino de cómo se comportaría cada activo en relación con los demás activos de la cartera.

En pocas palabras, MPT define la mejor forma de lograr la diversificación de la cartera para obtener los mejores resultados posibles: rendimientos máximos para un nivel de riesgo aceptable o riesgo mínimo para un nivel de rentabilidad deseado.

The Building Blocks

El MPT fue un concepto tan revolucionario cuando se presentó que sus inventores ganaron un Noble Prize. Esta teoría proporcionó con éxito una fórmula matemática para orientar la diversificación en la inversión.

La diversificación es una técnica de gestión de riesgos que elimina el riesgo de "todos los huevos en una sola canasta" invirtiendo en acciones, sectores o clases de activos no correlacionados. Idealmente, el desempeño positivo de un activo en la cartera cancelará el desempeño negativo de otros activos.

Para obtener el retorno promedio de la cartera que tiene n activos diferentes, se calcula la combinación ponderada por proporción de los rendimientos de los activos constituyentes. Debido a la naturaleza de los cálculos estadísticos y la distribución normal, el rendimiento general de la cartera (R _p ) se calcula como:

la suma (Σ) donde w _i es el peso proporcional de activo i en la cartera, R _i es la rentabilidad (media) del activo i.

El riesgo del portafolio (o desviación estándar) es una función de las correlaciones de los activos incluidos, para todos los pares de activos (con respecto a cada uno en el par). Debido a la naturaleza de los cálculos estadísticos y la distribución normal, el riesgo general de la cartera (Std-dev) _p se calcula como:

donde cor-cof es el coeficiente de correlación entre los rendimientos de los activos i y j, y sqrt es la raíz cuadrada.

Esto se ocupa del rendimiento relativo de cada activo con respecto al otro.

Aunque parezca matemáticamente complejo, el concepto simple aplicado aquí incluye no solo las desviaciones estándar de los activos individuales, sino también los relacionados entre sí.

Un buen ejemplo está disponible aquí desde la Universidad de Washington.

Un ejemplo rápido

Imaginemos que somos un administrador de cartera a quien se le ha otorgado capital y se le ha asignado la tarea de asignar el capital a dos activos disponibles (A y B), por lo que se espera el retorno es máximo y el riesgo es el más bajo.

También tenemos los siguientes valores disponibles:

R _a = 0. 175

R _b = 0. 055

(Std-dev) < a _{= 0. 258} (Std-dev)

b _{= 0. 115} (Std-dev)

ab _{= -0. 004875} (Cor-cof)

ab _{= -0. 164} Comenzando con una asignación igual de 50-50 para cada activo A y B, el R

p _{calcula a 0. 115 y (Std-dev)} p _{llega a 0. 1323 Una simple comparación nos dice que para esta cartera de 2 activos, tanto el retorno como el riesgo están a mitad de camino entre los valores individuales de cada activo.} Sin embargo, nuestro objetivo es mejorar el rendimiento de la cartera más allá del promedio de cualquiera de los activos individuales y reducir el riesgo para que sea más bajo que el de los activos individuales.

Tomemos ahora una posición de asignación de capital de 1. 5 en el activo A, y un -0. 5 Posición de asignación de capital en el activo B. (Asignación negativa de capital significa acortar el stock y el capital recibidos utilizados para comprar el excedente de otro activo con asignación de capital positiva. En otras palabras, estamos reduciendo el stock B para 0.5 veces de capital y usar ese dinero para comprar stock A para el monto 1. 5 veces el capital.)

Usando estos valores, obtenemos R

p _{como 0. 1604 y (Std-dev) < p} como 0. 4005. _{Del mismo modo, podemos continuar utilizando diferentes ponderaciones de asignación para los activos A y B, y llegar a diferentes conjuntos de Rp y (Std-dev) p. De acuerdo con el rendimiento deseado (Rp), se puede elegir el mejor nivel de riesgo aceptable (std-dev) p. Alternativamente, para un nivel de riesgo deseado, uno puede seleccionar el mejor retorno de cartera disponible. De cualquier manera, a través de este modelo matemático de Portfolio Theory, es posible cumplir el objetivo de crear una cartera eficiente con la combinación deseada de riesgo y rendimiento.} El uso de herramientas automatizadas permite detectar fácil y fácilmente las mejores proporciones posibles asignadas, sin necesidad de largos cálculos manuales.

La frontera eficiente, el Modelo de fijación de precios de activos de capital (CAPM) y el precio de activos utilizando MPT también evolucionan desde el mismo modelo de distribución normal y son una extensión de MPT.

Los desafíos para MPT (y la distribución normal subyacente):

Desafortunadamente, ningún modelo matemático es perfecto y cada uno tiene deficiencias y limitaciones.

La suposición básica de que los precios de las acciones vueltas siguen la distribución normal en sí misma se cuestiona una y otra vez. Existe suficiente evidencia empírica de instancias donde los valores no se adhieren a la distribución normal supuesta. Basar los modelos complejos en tales supuestos puede conducir a resultados con grandes desviaciones.

Yendo más allá en MPT, los cálculos y las suposiciones sobre el coeficiente de correlación y la covarianza que permanecen fijas (en base a los datos históricos) pueden no ser necesariamente ciertos para los valores futuros esperados. Por ejemplo, los mercados de bonos y acciones mostraron una correlación perfecta en el mercado del Reino Unido durante el período 2001-2004, donde los rendimientos de ambos activos disminuyeron simultáneamente. En realidad, se ha observado lo contrario durante largos períodos históricos anteriores a 2001.

El comportamiento del inversor no se tiene en cuenta en este modelo matemático. Los impuestos y los costos de transacción se descuidan, aunque se asume la asignación fraccional de capital y la posibilidad de cortocircuito de los activos.

En realidad, ninguna de estas suposiciones puede ser cierta, lo que significa que los rendimientos financieros realizados pueden diferir significativamente de los beneficios esperados.

The Bottom Line:

Los modelos matemáticos proporcionan un buen mecanismo para cuantificar algunas variables con números únicos y rastreables. Pero debido a las limitaciones de las suposiciones, los modelos pueden fallar. La distribución normal, que forma la base de la teoría de la cartera, puede no aplicarse necesariamente a las acciones y otros patrones de precios de los activos financieros. La teoría de la cartera en sí misma tiene muchas suposiciones que deberían ser examinadas críticamente, antes de tomar decisiones financieras importantes.