¿Cómo construir modelos de valoración como Black-Scholes (BS)? (IBM)

¿Cómo construir modelos de valoración como Black-Scholes (BS)? (IBM)

A partir de enero de 2015, IBM IBMInternational Business Machines Corp151. 58-1. 15% Creado con Highstock 4. 2. 6 acciones se cotizan a $ 155 y usted espera que aumente en el próximo año. Tiene la intención de comprar una opción de compra en las acciones de IBM con un precio de ejercicio de $ 155, esperando beneficiarse de altas rentabilidades porcentuales, basadas en un pequeño costo de opción (opción premium), en comparación con la compra de acciones con un alto precio de compra. ¿Cuál debería ser el valor razonable de esta opción de compra en IBM? (para la lectura relacionada, consulte Tres formas de obtener ganancias utilizando las opciones de llamada )

Hoy en día, hay disponibles un par de diferentes métodos listos para valorar opciones, incluido el modelo Black-Scholes y el modelo de árbol binomial, que pueden proporcionar respuestas rápidas. Pero, ¿cuáles son los factores subyacentes y los conceptos básicos para llegar a tales modelos de valoración? ¿Se puede preparar algo similar, basado en el concepto de estos modelos?

Aquí, cubrimos los componentes básicos, los conceptos subyacentes y los factores que se pueden usar como marco para construir un modelo de valoración para un activo, como las opciones, proporcionando una comparación paralela a los orígenes del Black- Modelo de Scholes (BS) (para lecturas adicionales, consulte Opciones de precios: Black-Scholes Model ).

Este artículo no tiene la intención de desafiar las suposiciones o cualquier otro factor del modelo BS (que es un tema completamente diferente); más bien, pretende explicar el concepto subyacente del modelo Black-Scholes, junto con la idea del desarrollo del modelo de valoración.

El mundo antes de Black-Scholes

Antes de Black-Scholes, el Modelo de fijación de precios de activos de capital (CAPM) basado en el equilibrio fue ampliamente seguido. Los rendimientos y los riesgos se equilibraron entre sí, según las preferencias del inversionista, i. mi. se esperaba que un inversor de alto riesgo fuera compensado con (el potencial de) mayores rendimientos en una proporción similar.

El modelo BS tiene sus raíces en CAPM. Según Fisher Black, " apliqué el Modelo de fijación de precios de activos de capital a cada momento en la vida de una garantía, por cada precio de acción posible y valor de garantía ".

Desafortunadamente, el CAPM no pudo cumplir con el requisito de fijación de precios de warrant (opción).

Black-Scholes sigue siendo el primer modelo, basado en el concepto de arbitraje, que hace un cambio de paradigma de los modelos basados ​​en el riesgo (como el CAPM). Este nuevo desarrollo de modelo de BS reemplazó el concepto de retorno de acciones de CAPM con el reconocimiento del hecho de que una posición perfectamente cubierta obtendrá una tasa libre de riesgo. Esto eliminó las variaciones de riesgo y rendimiento, y estableció el concepto de arbitraje en el que las valoraciones se realizan sobre suposiciones de concepto de riesgo neutral: una posición cubierta (libre de riesgo) debería conducir a una tasa de rendimiento libre de riesgo.

El modelo de desarrollo de precios (Black-Scholes)

Comencemos por establecer el problema, cuantificándolo y desarrollando un marco para su solución. Continuamos con nuestro ejemplo sobre la valoración de la opción de compra de cajero automático en IBM con un precio de ejercicio de $ 155 con un año de vencimiento.

Sobre la base de la definición básica de una opción de compra, a menos que el precio de la acción llegue al nivel de precio de ejercicio, el resultado final será cero. Publicando ese nivel, el pago aumenta linealmente (es decir, un aumento de un dólar en el subyacente proporcionará un pago de un dólar de la opción de compra).

Suponiendo que el comprador y el vendedor acuerden una valoración justa (incluido el precio cero), el precio justo teórico para esta opción de compra (para la lectura relacionada, remítase a Comprensión del precio de las opciones ) será: > Precio de la opción call = $ 0, si subyacente

  • Call option price = (subyacente - strike), si subyacente> = strike (gráfico azul)
  • Esto representa el valor intrínseco de la opción y apariencia perfecto desde el punto de vista de un comprador de opción de compra. En la región roja, tanto el comprador como el vendedor tienen una valoración justa (precio cero para el vendedor, pago cero para el comprador). Sin embargo, el desafío de valoración comienza con la región azul, ya que el comprador tiene la ventaja de una rentabilidad positiva, mientras que el vendedor sufre una pérdida (siempre que el precio subyacente supere el precio de ejercicio). Aquí es donde el comprador tiene una ventaja sobre el vendedor con precio cero. El precio debe ser distinto de cero para compensar al vendedor por el riesgo que está asumiendo.

En el primer caso (gráfico rojo), en teoría, el vendedor recibe el precio cero y el comprador tiene cero posibilidades de pago (justo para ambos). En este último caso (gráfico azul), el vendedor debe pagar el diferencial entre el subyacente y el comprador. El riesgo del vendedor abarca todo el año. Por ejemplo, el precio de la acción subyacente puede moverse muy alto (digamos a $ 200 en cuatro meses) y el vendedor debe pagarle al comprador el diferencial de $ 45.

Por lo tanto, se reduce a:

¿El precio del subyacente cruzará el precio de ejercicio?

  1. Si lo hace, ¿qué tan alto puede ir el precio subyacente (ya que eso determinará el pago al comprador)?
  2. Esto indica el gran riesgo asumido por el vendedor, lo que lleva a la pregunta: ¿por qué alguien vendería tal llamada, si no obtienen nada por el riesgo que están tomando?

Nuestro objetivo es llegar a un precio único que el vendedor debe cobrarle al comprador, que puede compensarlo por el riesgo general que está asumiendo a lo largo de un año, tanto en la región de pago cero (rojo) como en el pago lineal región (azul). El precio debe ser justo y aceptable tanto para el comprador como para el vendedor. De lo contrario, el que está en desventaja en términos de pagar o recibir un precio injusto no participará en el mercado, lo que le restará valor al objetivo del negocio comercial. El modelo Black-Scholes tiene como objetivo establecer este precio justo considerando la variación constante del precio de las acciones, el valor temporal del dinero, el precio de ejercicio de la opción y el tiempo hasta el vencimiento de la opción.Similar al modelo de BS, veamos cómo podemos abordar para evaluar esto en nuestro ejemplo utilizando nuestros propios métodos.

¿Cómo evaluar el valor intrínseco en la región azul?

Hay un par de métodos disponibles para predecir el movimiento del precio esperado en el futuro durante un marco de tiempo dado:

Se pueden analizar movimientos de precios similares de la misma duración en el pasado reciente. El precio de cierre histórico de IBM indica que en el pasado año (del 2 de enero de 2014 al 31 de diciembre de 2014), el precio bajó a $ 160. 44 desde $ 185. 53, una disminución de 13. 5%. ¿Podemos concluir un -13. ¿Movimiento de precio del 5% para IBM?

  • Una verificación más detallada indica que tocó un máximo anual de $ 199. 21 (el 10 de abril de 2014) y un mínimo anual de $ 150. 5 (el 16 de diciembre de 2014). Basándolos en el día inicial, el 2 de enero de 2014, y el precio de cierre de $ 185. 53, el cambio porcentual varía de +7. 37% a -18. 88%. Ahora, el rango de variación parece mucho más amplio en comparación con el declive calculado anteriormente de 13. 5%.
  • Se pueden llevar a cabo análisis y observaciones similares sobre datos históricos. Para continuar con el desarrollo de nuestro modelo de precios, asumamos esta metodología simple para medir las variaciones futuras de precios.

Supongamos que IBM aumenta un 10% cada año (según los datos históricos de los últimos 20 años). Las estadísticas básicas indican que la probabilidad de que el precio del stock de IBM cambie alrededor del 10% será mucho mayor que la probabilidad de que el precio de IBM suba un 20% o disminuya un 30%, suponiendo que se repitan los patrones históricos. Al recopilar puntos de datos históricos similares con valores de probabilidad, se puede calcular un rendimiento general esperado del precio de las acciones de IBM en un marco de tiempo de un año como un promedio ponderado de probabilidades y rendimientos asociados. Por ejemplo, supongamos que los datos de precios históricos de IBM indican los siguientes movimientos:

(- 10%) veinticinco por ciento de las veces,

  • + 10% treinta y cinco por ciento de las veces,
  • + 15% veinte por ciento de veces,
  • + 20% el diez por ciento de las veces,
  • + 25% el cinco por ciento de las veces, y
  • (- 15%) el cinco por ciento de las veces.
  • Por lo tanto, el promedio ponderado (o el valor esperado) llega a:

(- 10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5 % - 15% * 5%) / 100% =
6. 5% i. mi. en promedio, se espera que el precio de las acciones de IBM regrese a +6. 5% en un año por cada dólar. Si alguien compra las acciones de IBM con un horizonte de un año y un precio de compra de $ 155, se puede esperar un retorno neto de 155 * 6. 5% = $ 10. 075.
Sin embargo, esto es para la devolución de acciones. Necesitamos buscar rendimientos esperados similares para la opción de compra.

Con base en el pago cero de la llamada por debajo del precio de ejercicio ($ 155 existente - llamada de cajero automático), todos los movimientos negativos generarán cero pagos, mientras que todos los movimientos positivos por encima del precio de ejercicio generarán un pago equivalente. El rendimiento esperado para la opción call será así:

(

-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5 % - 0 % * 5%) / 100% = 9. 75% i. mi. por cada $ 100 invertidos en comprar esta opción, uno puede esperar $ 9. 75 (basado en los supuestos anteriores).

Sin embargo, esto todavía permanece confinado a la valoración justa de la cantidad intrínseca de opciones y no captura correctamente el riesgo asumido por el vendedor de la opción por las altas oscilaciones que pueden ocurrir en el ínterin (en el caso del intraveo mencionado anteriormente). precios altos y bajos).Además del valor intrínseco, ¿qué precio puede acordar el comprador y el vendedor, de modo que el vendedor recibe una compensación justa por el riesgo que está asumiendo durante el período de un año?

Estos cambios pueden variar ampliamente y el vendedor puede tener su propia interpretación de cuánto quiere ser compensado por ello. El modelo de Black-Scholes asume las opciones de tipo europeas, i. mi. ningún ejercicio antes de la fecha de caducidad. Por lo tanto, no se ve afectado por oscilaciones de precios intermedias y basa su valoración en los días de negociación de extremo a extremo.

En el comercio real, esta volatilidad juega un papel importante en la determinación de los precios de las opciones. La función de pago azul que comúnmente vemos es en realidad el pago en la fecha de vencimiento. Siendo realistas, el precio de la opción (gráfico rosa) siempre es más alto que el pago (gráfico azul), lo que indica el precio tomado por el vendedor para compensar sus habilidades para asumir riesgos. Esta es la razón por la cual el precio de la opción también se conoce como la opción "premium", que indica esencialmente la prima de riesgo.

Esto se puede incluir en nuestro modelo de valoración, dependiendo de cuánta volatilidad se espera en el precio de la acción y cuánto valor esperado se obtendría.

El modelo Black-Scholes lo hace eficientemente (por supuesto, dentro de sus propios supuestos) de la siguiente manera:

El modelo BS asume una distribución lognormal de los movimientos del precio de las acciones, lo que justifica el uso de N (d1) y N (d2 )

En la primera parte, S indica el precio actual de la acción.

N (d1) indica la probabilidad del movimiento actual del precio del stock.
Si esta opción va en el dinero que permite al comprador ejercer esta opción, obtendrá una acción de las acciones de IBM subyacentes. Si el comerciante lo ejerce hoy, entonces el S * N (d1) representa el valor esperado de la opción en el presente.

En la segunda parte, X indica el precio de ejercicio.

N (d2) representa la probabilidad de que el precio de las acciones esté por encima del precio de ejercicio.

Entonces X * N (d2) representa el valor esperado del precio de la acción restante
por encima de el precio de ejercicio. Como el modelo de Black-Scholes asume opciones de estilo europeo donde el ejercicio es posible solo al final, el valor esperado representado arriba por X * N (d2) debe descontarse para el valor de tiempo del dinero. Por lo tanto, la última parte se multiplica con el término exponencial elevado a la tasa de interés durante el período de tiempo.

La diferencia neta de los dos términos indica el valor de precio de la opción a partir de hoy (en la que se descuenta el segundo término)

En nuestro marco, dichos movimientos de precios se pueden incluir de manera más precisa a través de varias formas:

Mejora de los cálculos de rentabilidad esperados ampliando el rango a intervalos más finos para incluir movimientos de precios intradía / intra-anuales

  • Inclusión de los datos de mercado actuales, ya que refleja la actividad actual (similar a la volatilidad implícita)
  • Rendimientos esperados en el vencimiento fecha, que puede descontarse hasta el día de hoy para valoraciones realistas y reducirse aún más del valor actual
  • . Por lo tanto, vemos que no hay límite para las suposiciones, metodologías y personalización que se seleccionarán para el análisis cuantitativo.Dependiendo del activo a negociar o de la inversión a considerar, se puede trabajar en un modelo de desarrollo propio. Es importante tener en cuenta que la volatilidad de los movimientos de los precios de las diferentes clases de activos varía mucho: las acciones tienen sesgo de volatilidad, la volatilidad tiene que ver con la volatilidad y los usuarios deben incorporar los patrones de volatilidad aplicables en sus modelos. Las suposiciones y los inconvenientes son parte integral de cualquier modelo y la aplicación informada de los modelos en los escenarios comerciales del mundo real puede producir mejores resultados. (para la lectura relacionada, refiérase a

Una descripción simple del análisis cuantitativo ) The Bottom Line

Con los activos complejos entrando en los mercados o incluso los activos vainilla comunes entrando en formas complejas de negociación, modelos cuantitativos y el análisis se está convirtiendo en obligatorio para la valoración. Lamentablemente, ningún modelo matemático viene sin un conjunto de inconvenientes y suposiciones. El mejor enfoque es mantener las suposiciones al mínimo y ser conscientes de los inconvenientes implícitos, que pueden ayudar a trazar las líneas sobre el uso y la aplicabilidad de los modelos.